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已知f(x)=alnx+
1
2
x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>2恒成立,则a的取值范围是(  )
A、(0,1]
B、(1,+∞)
C、(0,1)
D、[1,+∞)
分析:先将条件“对任意两个不等的正实数x1,x2,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>2恒成立”转换成当x>0时,f'(x)≥2恒成立,然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可.
解答:解:对任意两个不等的正实数x1,x2,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>2恒成立
则当x>0时,f'(x)≥2恒成立
f'(x)=
a
x
+x≥2在(0,+∞)上恒成立
则a≥(2x-x2max=1
故选D.
点评:本题主要考查了导数的几何意义,以及函数恒成立问题,同时考查了转化与划归的数学思想,属于基础题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知f′(x)是f(x)的导函数,f(x)=ln(x+1)+m-2f′(1),m∈R,且函数f(x)的图象过点(0,-2).
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)设g(x)=
1x
+aln(x+1)-2a
在点(1,g(1))处的切线与y轴垂直,求g(x)的极大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=aln(x-1),g(x)=x2+bx,F(x)=f(x+1)-g(x),其中a,b∈R.
(Ⅰ)若y=f(x)与y=g(x)的图象在交点(2,k)处的切线互相垂直,求a,b的值;
(Ⅱ)若x=2是函数F(x)的一个极值点,x0和1是F(x)的两个零点,且x0∈(n,n+1)n∈N,求n;
(Ⅲ)当b=a-2时,若x1,x2是F(x)的两个极值点,当|x1-x2|>1时,求证:|F(x1)-F(x)|>3-4ln2.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=aln(1+ex)-(a+1)x.
(1)已知f(x)满足下面两个条件,求a的取值范围.
①在(-∞,1]上存在极值,
②对于任意的θ∈R,c∈R直线l:xsinθ+2y+c=0都不是函数y=f(x)(x∈(-1,+∞))图象的切线;
(2)若点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))从左到右依次是函数y=f(x)图象上三点,且2x2=x1+x3,当a>0时,△ABC能否是等腰三角形?若能,求△ABC面积的最大值;若不能,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数 f(x)=x2+2lnx+aln(1+x2).
(I)若a=-
92
求f(x)的极值;
(II)已知f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2
(i) 求a的取值范围
(ii)求证:f(x1)<1-4ln2
(III) a=0时,求证[f'(x)]n-2n-1f'(xn)≥2n(2n-2)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=[3ln(x+2)-ln(x-2)]

    (Ⅰ)求x为何值时,f(x)在[3,7]上取得最大值;

(Ⅱ)设F(x)=aln(x-1)-f(x),若F(x)是单调递增函数,求a的取值范围。

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