精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（t-1）S_n=2ta_n-t-1（其中t为常数，t＞0，且t≠1）．
（I）求证：数列{a_n}为等比数列；
（II）若数列{a_n}的公比q=f（t），数列{b_n}满足b₁=a₁，bn+1= $数学公式$ f（b_n），求数列{ $数学公式$ }的通项公式；
（III）设t= $数学公式$ ，对（II）中的数列{a_n}，在数列{a_n}的任意相邻两项a_k与a_k+1之间插入k个 $数学公式$ （k∈N^*）后，得到一个新的数列：a₁， $数学公式$ ，a₂， $数学公式$ ， $数学公式$ ，a₃， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ，a₄…，记此数列为{c_n}．求数列{c_n}的前50项之和．

（Ⅰ）证明：由题设知（t-1）S₁=2ta₁-t-1，解得a₁=1，
由（t-1）S_n=2ta_n-t-1，得（t-1）S_n+1=2ta_n+1-t-1，
两式相减得（t-1）a_n+1=2ta_n+1-2ta_n，
∴ $\text{[math]}$ （常数）．
∴数列{a_n}是以1为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．…（4分）
（Ⅱ）解：∵q=f （t）= $\text{[math]}$ ，b₁=a₁=1，b_n+1= $\text{[math]}$ f （b_n）= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +1，
∴数列{ $\text{[math]}$ }是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴ $\text{[math]}$ ．…（8分）
（III）解：当t= $\text{[math]}$ 时，由（I）知a_n= $\text{[math]}$ ，于是数列{c_n}为：1，-1， $\text{[math]}$ ，2，2， $\text{[math]}$ ，-3，-3，-3， $\text{[math]}$ ，…
设数列{a_n}的第k项是数列{c_n}的第m_k项，即a_k= $\text{[math]}$ ，
当k≥2时，m_k=k+[1+2+3+…+（k-1）]= $\text{[math]}$ ，
∴m₉= $\text{[math]}$ -45．
设S_n表示数列{c_n}的前n项和，则S₄₅=[1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ]+[-1+（-1）²×2×2+（-1）³×3×3+…+（-1）⁸×8×8]．
∵1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ，
-1+（-1）²×2×2+（-1）³×3×3+…+（-1）⁸×8×8=-1+2²-3²+4²-5²+6²-7²+8²
=（2+1）（2-1）+（4+3）（4-3）+（6+5）（6-5）+（8+7）（8-7）=3+7+11+15=36．
∴S₄₅=2- $\text{[math]}$ +36=38- $\text{[math]}$ ．
∴S₅₀=S₄₅+（c₄₆+c₄₇+c₄₈+c₄₉+c₅₀）=38- $\text{[math]}$ +5×（-1）⁹×9=-7 $\text{[math]}$ ．
即数列{c_n}的前50项之和为-7 $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（Ⅰ）利用数列递推式，再写一式，两式相减，即可证得数列{a_n}是以1为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列；
（Ⅱ）确定数列{ $\text{[math]}$ }是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列{ $\text{[math]}$ }的通项公式；
（III）确定数列{c_n}为：1，-1， $\text{[math]}$ ，2，2， $\text{[math]}$ ，-3，-3，-3， $\text{[math]}$ ，…，再分组求和，即可求得数列{c_n}的前50项之和．
点评：本题考查等比数列与等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．

练习册系列答案

学习总动员期末加暑假光明日报出版社系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

设数列{a_n}的前n项的和为S_n，且S_n=3ⁿ+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n（2n-1），求数列{b_n}的前n项的和．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

设数列a_n的前n项的和为S_n，a1=

，Sn=2an+1-3．
（1）求a₂，a₃；
（2）求数列a_n的通项公式；
（3）设bn=(2log

an+1)•an，求数列b_n的前n项的和T_n．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

设数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n+

×（-1）ⁿ-

，n∈N^*．
（Ⅰ）求a_n和a_n-1的关系式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）证明：

+…+

＜

，n∈N^*．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

不等式组

x≥0

y≥0

nx+y≤4n

所表示的平面区域为D_n，若D_n内的整点（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为a_n（n∈N^*）
（1）写出a_n+1与a_n的关系（只需给出结果，不需要过程），
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列a_n的前n项和为S_n且Tn=

5•2n

，若对一切的正整数n，总有T_n≤m成立，求m的范围．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

（2013•郑州一模）设数列{a_n}的前n项和Sn=2n-1，则

的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学