Question

设数列{a_n}前n项和为S_n，已知a₁=a（a≠4），a_n+1=2S_n+4ⁿ（n∈N^*）
（Ⅰ）设b n=Sn-4n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a_n+1≥a_n（n∈N^*），求实数a取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意得：S_n+1-S_n=a_n+1=2S_n+4ⁿ，化简利用等比数列的定义，可证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）确定S_n，再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a_n+1≥a_n（n∈N^*）成立，作差，构建函数，利用函数的单调性，即可求实数a取值范围．

解答：（Ⅰ）证明：依题意得：S_n+1-S_n=a_n+1=2S_n+4ⁿ，即S_n+1=3S_n+4ⁿ，
由此得Sn+1-4n+1=3（Sn-4n）即b_n+1=3b_n，…（2分）
∴数列{b_n}是公比为3的等比数列．         …（3分）
（Ⅱ）解：∵bn=Sn-4n=(a-4)•3n-1，
∴Sn=4n+(a-4)•3n-1，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-1+2（a-4）•3^n-2，…（6分）
n=1时，a₁=1
∴an=

3×4n-1+2(a-4)•3n-2 a，n=1

…（7分）
（Ⅲ）解：∵a_n+1=3×4ⁿ+2（a-4）•3^n-1，
∴a_n+1-a_n=4•3^n-2[9•(

4

3

)n-2+a-4]≥0
设f（n）=9•(

4

3

)n-2+a-4，则f（n）≥0，…（9分）
∵当n≥2时，f（n）是递增数列，∴f（n）的最小值为f（2）=a+5…（10分）
∴当n≥2时a_n+1-a_n≥0恒成立，等价于a+5≥0，即a≥-5…（11分）
又a₂≥a₁等价于2a₁+4≥a₁，即a≥-4．…（13分）
综上，所求的a的取值范围是[-4，4）∪（4，+∞）．…（14分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．