Question

已知函数f（x）=16ln（1+x）+x²-10x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞）

令f'（x）=0，得x=1，x=3．f'（x）和f（x）随x的变化情况如下：

x	（-1，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

f（x）的增区间是（-1，1），（3，+∞）；减区间是（1，3）．
（2）由（1）知，f（x）在（-1，1）上单调递增，在（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减．
∴f（x）_极大=f（1）=16ln2-9，f（x）_极小=f（3）=32ln2-21．
又x→-1⁺时，f（x）→-∞；x→+∞时，f（x）→+∞；
可据此画出函数y=f（x）的草图（如图），由图可知，
当直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点时，
当且仅当f（3）＜b＜f（1），
故b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）
分析：（1）先根据对数函数的定义求出f（x）的定义域，并求出f′（x）=0时x的值，在定义域内，利用x的值讨论f′（x）的正负即可得到f（x）的单调区间；
（2）根据第一问函数的增减性得到函数的极大值为f（1）和极小值为f（3），然后算出x→-1⁺时，f（x）→-∞；x→+∞时，f（x）→+∞；据此画出函数y=f（x）的草图，由图可知，y=b与函数f（x）的图象各有一个交点，即满足f（4）＜b＜f（2），即可得到b的取值范围．
点评：本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，是一道综合题．