Question

设函数f(x)=|sinx+

2

3+sinx

+m|(x∈R，m∈R)最大值为g（m），则g（m）的最小值为

3

4

．

Answer 1

分析：设h（x）=（sinx+3）+

2

3+sinx

+m-3，令t=sinx+3，2≤t≤4，利用p（t）=t+

2

t

+m-3在[2，4]内是单调递增函数，可求得m≤p（t）≤m+

3

2

，从而可得f（x）_max=g（m），通过对m分类讨论即可求得g（m）的最小值．

解答：解：设h（x）=sinx+

2

3+sinx

+m=（sinx+3）+

2

3+sinx

+m-3，
∵-1≤sinx≤1，
∴2≤sinx+3≤4，
令t=sinx+3，2≤t≤4，
则p（t）=t+

2

t

+m-3在[2，4]内是单调递增函数，
∴3+m-3≤p（t）≤4+

2

4

+m-3=m+

3

2

，
即m≤p（t）≤m+

3

2

，
∵f（x）=|sinx+

2

3+sinx

+m|的最大值为g（m），
∴f（x）_max=|m+

3

2

|，f（x）_min=|m|，
当m≤-

3

4

时，g（m）=-m≥

3

4

，
当m＞-

3

4

时，g（m）=m+

3

2

＞

3

4

，
所以g（m）得最小值是

3

4

．

点评：本题考查三角函数的最值，考查三角函数与双钩函数的单调性与最值，考查构造函数与分类讨论思想的综合运用，属于难题．