Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+（c-3a-2b）x+d（a＞0）的图象如图所示．
（Ⅰ）求c，d的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=2处的切线方程为3x+y-11=0，求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）若=5，方程f（x）=8a有三个不同的根，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：函数f（x）的导函数为f′（x）=3ax²+2bx+c-3a-2b
（Ⅰ）由图可知函数f（x）的图象过点（0，3），且f′（1）=0
得（3分）
（Ⅱ）依题意f′（2）=-3且f（2）=5，
即
解得a=1，b=-6
所以f（x）=x³-6x²+9x+3（8分）
（Ⅲ）依题意f（x）=ax³+bx²-（3a+2b）x+3（a＞0）
f′（x）=3ax²+2bx-3a-2b
由f′（5）=0?b=-9a①
若方程f（x）=8a有三个不同的根，当且仅当满足f（5）＜8a＜f（1）②
由①②得
所以当时，方程f（x）=8a有三个不同的根．（13分）
分析：（Ⅰ）由图象过点（0，3）求出d，再利用1是极值点求出c，
（Ⅱ）利用切线的斜率为-3得f′（2）=-3且f（2）=5求出a，b即可．
（Ⅲ）把方程f（x）=8a有三个不同的根转化为两个函数有三个不同的交点，利用图形可得f（5）＜8a＜f（1）求出实数a的取值范围．
点评：本题考查根的个数的应用和数形结合思想的应用．，数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具．