【题目】已知函数(
且
),
(1)若,且函数
的值域为
,求
的解析式;
(2)在(1)的条件下,当时,
时单调函数,求实数
的取值范围;
(3)当,
时,若对于任意
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围
【答案】(1);(2)
或
;(3)
.
【解析】
(1)由函数的值域为
,得
,再结合
,从而求得
的值,进而求得函数
的解析式;
(2)函数的对称轴不在区间
内即可;
(3)将不等式恒成立转化为不等式组
对于任意
,
恒成立,看成以
为主元,再分别研究两个不等式恒成立问题.
(1)函数的值域为
,所以
,
又,所以
,解得:
所以.
(2)因为,
对称轴为,
所以或
,解得:
或
.
(3)当时,
,
因为,
所以不等式组对于任意
,
恒成立.
所以不等式组对于任意
,
恒成立.
所以对于任意
恒成立.
先考虑不等式对于任意
恒成立,所以
;
再考虑不等式对于任意
恒成立(此时只考虑
情况),
因为函数的对称轴为,
①当时,不等式
对于任意
恒成立;
②当时,
,则
,
所以;
综上所述:.
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【题目】某学校举行联欢会,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张,每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票,则决定该节目最终获一等奖;否则,该节目不能获一等奖.
(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率;
(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及均值和方差.
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【题目】食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入种黄瓜的年收入
与投入
(单位:万元)满足
.设甲大棚的投入为
(单位:万元),每年两个大棚的总收益为
(单位:万元)
(1)求的值;
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益最大?
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【题目】数列中,若
,则下列命题中真命题个数是( )
(1)若数列为常数数列,则
;
(2)若,数列
都是单调递增数列;
(3)若,任取
中的
项
构成数列
的子数
(
),则
都是单调数列.
A.个B.
个C.
个D.
个
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【题目】函数对于任意的
都有
,给出以下命题:
①在
上是增函数;
②可能存在,使得对任意的
恒成立;
③可能存在,使得
成立;
④没有最大值和最小值.
则正确的命题的个数为( ).
A.个B.
个C.
个D.
个
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【题目】已知点,直线
:
,
为平面上的动点,过点
作直线
的垂线,垂足为
,且满足
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过点作直线
与轨迹
交于
,
两点,
为直线
上一点,且满足
,若
的面积为
,求直线
的方程.
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【题目】已知双曲线:
的左、右焦点分别为
,
为坐标原点,
是双曲线上在第一象限内的点,直线
分别交双曲线
左、右支于另一点
,
,且
,则双曲线
的离心率为( )
A. B.
C.
D.
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