Question

13．已知g（x）=x²-2ax+1在区间[1，3]上的值域[0，4]．
（1）求a的值；
（2）若不等式g（2^x）-k•4^x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若函数$y=\frac{{g（|{2^x}-1|）}}{{|{2^x}-1|}}+k•\frac{2}{{|{2^x}-1|}}-3k$有三个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对g（x）配方，求出对称轴x=a，讨论若1≤a≤3时，若a＞3时，若a＜1，由单调性可得最小值，解方程，即可得到所求a的值；
（2）由题意可得（2^x）²-2•2^x+1-k•4^x≥0，化为k≤（2^-x）²-2•2^-x+1，令t=2^-x，求出t的范围，求得右边函数的最小值即可得到k的范围；
（3）令y=0，可化为|2^x-1|²-2•|2^x-1|+1+2k-3k•|2^x-1|=0（|2^x-1|≠0）有3个不同的实根．令t=|2^x-1|，讨论t的范围和单调性，t²-（3k+2）t+1+2k=0有两个不同的实数解t₁，t₂，已知函数有3个零点等价为0＜t₁＜1，t₂＞1或0＜t₁＜1，t₂=1，记m（t）=t²-（3k+2）t+1+2k，由二次函数图象可得不等式组，解不等式可得k的范围．

解答 解：（1）g（x）=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²在区间[1，3]上的值域[0，4]．
若1≤a≤3时，g（x）的最小值为g（a）=1-a²，
由1-a²=0，可得a=1（-1舍去），g（x）=（x-1）²满足在区间[1，3]上的值域[0，4]；
若a＞3时，g（x）在[1，3]递减，g（x）的最小值为g（3），
由g（3）=10-6a=0，解得a=$\frac{5}{3}$（舍去）；
若a＜1，则g（x）在[1，3]递增，g（x）的最小值为g（1），
由g（1）=2-2a=0，解得a=1．
综上可得，a=1；
（2）由g（2^x）-k•4^x≥0即（2^x）²-2•2^x+1-k•4^x≥0，
化为k≤（2^-x）²-2•2^-x+1，令t=2^-x，由x≥1可得0＜t≤$\frac{1}{2}$，
则k≤t²-2t+1，0＜t≤$\frac{1}{2}$，
记h（t）=t²-2t+1，0＜t≤$\frac{1}{2}$，由单调递减，可得h（t）的最小值为（$\frac{1}{2}$-1）²=$\frac{1}{4}$，
则k的取值范围是k≤$\frac{1}{4}$；
（3）令y=0，可化为|2^x-1|²-2•|2^x-1|+1+2k-3k•|2^x-1|=0（|2^x-1|≠0）有3个不同的实根．
令t=|2^x-1|，则t＞0，由2^x-1＞-1，当x＜0时，t=|2^x-1|=1-2^x，t∈（0，1]且递减，
当0＜x＜1时，t=|2^x-1|=2^x-1，t∈（0，1）且递增，
当x=1时，t=1．当x＞1时，t=|2^x-1|=2^x-1，t∈（1，+∞）且递增，
t²-（3k+2）t+1+2k=0有两个不同的实数解t₁，t₂，
已知函数有3个零点等价为0＜t₁＜1，t₂＞1或0＜t₁＜1，t₂=1，
记m（t）=t²-（3k+2）t+1+2k，则$\left\{\begin{array}{l}{2k+1＞0}\\{m（1）=-k＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=2k+1＞0}\\{h（1）=-k=0}\\{0＜\frac{3k+2}{2}＜1}\end{array}\right.$，
解得k＞0或k无实数解，
综上可得，k的取值范围是（0，+∞）．

点评 本题考查二次函数在闭区间上最值问题，注意对称轴和区间的关系，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查函数零点问题，注意转化思想运用，考查分类讨论思想方法运用，以及运算化简能力，属于难题．