Question

已知函数f（x）=x²（x-a），求：
（1）f（x）在[0，2]上的最大值；
（2）f（x）在[-1，0]上的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：分类讨论,导数的综合应用

分析：（1）对函数f（x）求导，讨论a的取值，利用导数判断函数f（x）在[0，2]上的单调性，从而求出f（x）在[0，2]上的最大值；
（2）利用（1）的方法，求出f（x）在[-1，0]上的最大值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x²（x-a）=x³-ax，
∴f′（x）=3x²-a；
当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]上是单调增函数，
∴f（x）在[0，2]上的最大值是f（2）=2³-2a=8-2a；
当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=±

a 3

；
若

a 3

＜2，即a＜12时，f（x）在[0，2]上先减后增，最大值是max{f（0），f（2）}；
若

a 3

≥2，即a≥12时，f（x）在[0，2]上是减函数，最大值是f（0）=0；
（2）由（1）知，当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[-1，0]上是单调增函数，
∴f（x）在[-1，0]上的最大值是f（0）=0；
当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=±

a 3

；
若-

a 3

≤-1，即a≥3时，f（x）在[-1，0]上是单调减函数，最大值是f（-1）=-1+a；
若-

a 3

＞-1，即a≥12时，f（x）在[-1，0]上先减后增，最大值是max{f（-1），f（0）}．

点评：本题考查了利用分类讨论的方法，结合函数的导数，判断函数的单调性，从而求函数在某一闭区间上的最值问题，是综合性题目．