【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知P是直线上的一个动点,圆Q的方程为:设以线段PQ为直径的圆E与圆Q交于C,D两点.
证明:PC,PD均与圆Q相切;
当时,求点P的坐标;
求线段CD长度的最小值.
【答案】(1)见解析(2) (3)
【解析】
(1)根据题意,连接CQ、CD,分析易得PC⊥CQ,PD⊥DQ,又由C、D都在圆Q上,即可得证明;
(2)根据题意,设P(m,m+4),由直线与圆的位置关系可得|PQ|2=PC2+CQ2=63+9=72,由两点间距离公式可得(m﹣4)2+(m+8)2=72,解可得m的值,即可得答案;
(3)根据题意,设PQ=t,求出PC的值,据此可得CD=2×=6,分析可得当t取得最小值时,CD的值最小,进而可得当PQ与直线x﹣y+4=0垂直时,PQ最小,计算即可得答案.
证明:根据题意,连接CQ、CD,
圆E是以线段PQ为直径的圆,则,即,,
又由C、D都在圆Q上,
则PC,PD均与圆Q相切;
根据题意,设,
圆Q的方程为:,圆心,半径,
当时,,
则有,即
解可得:,
则P的坐标为;
根据题意,设,则,
则,
分析可得:当t取得最小值时,CD的值最小,
当PQ与直线垂直时,PQ最小,且PQ的最小值为,
此时CD取得最小值,且其最小值为.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 通项公式为 .
(Ⅰ)计算f(1),f(2),f(3)的值;
(Ⅱ)比较f(n)与1的大小,并用数学归纳法证明你的结论.
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【题目】[选修4-5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|x﹣m|﹣1.
(1)若不等式f(x)≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥t﹣2对一切实数x恒成立,求实数t的取值范围.
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【题目】如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=2,CF=3.
(1)求证:BD⊥平面ACFE;
(2)当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时,求AE的长度.
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【题目】已知椭圆C:(a>0,b>0)的短轴长为2 , 且离心率e= .
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设F1、F2是椭圆的左、右焦点,过F2的直线与椭圆相交于P、Q两点,求△F1PQ面积的最小值.
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【题目】已知椭圆 (a>b>0)的一个顶点为B(0,4),离心率e= ,直线l交椭圆于M,N两点.
(1)若直线l的方程为y=x﹣4,求弦MN的长;
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l方程的一般式.
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【题目】(1)求经过直线l1:x+3y-3=0,l2:x-y+1=0的交点且平行于直线2x+y-3=0的直线方程.
(2)求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点,并求出这个定点的坐标.
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