Question

13．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=3，AC=AA₁=6，AD=CD=5，且点M和N分别为B₁C和D₁D的中点．
（1）求证：MN∥平面ABCD；
（2）求二面角D₁-AC-B₁的正切值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN∥平面ABCD．
（2）求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正切值即可．

解答 （1）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA₁所在直线分别为x、y、z轴建系，
则A（0，0，0），B（0，3，0），C（6，0，0），D（3，-4，0），
A₁（0，0，6），B₁（0，3，6），C₁（6，0，6），D₁（3，-4，6），
又∵M、N分别为B₁C、D₁D的中点，∴M（3，$\frac{3}{2}$，3），N（3，-4，3）．
由题可知：$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，$\overrightarrow{MN}$=（0，-$\frac{11}{2}$，0），
∵$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{MN}$=0，MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；
（2）解：由（1可知：$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（3，-4，6），$\overrightarrow{AC}$=（6，0，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，3，6），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面ACD₁的法向量，
得$\left\{\begin{array}{l}{3x-4y+6z=0}\\{6x=0}\end{array}\right.$，
取z=2，得$\overrightarrow{m}$=（0，3，2），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面ACB₁的法向量，
得$\left\{\begin{array}{l}{3y+6z=0}\\{6x=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-2，1），
∵cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-6+2}{\sqrt{13}•\sqrt{5}}$=-$\frac{4}{\sqrt{65}}$，∴二面角D₁-AC-B₁的正切值为$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查直线与平面平行和、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．