Question

（2012•杭州一模）已知函数f（x）=

3

sinxcosx+cos2x-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、对称轴方程及单调区间；
（Ⅱ）现保持纵坐标不变，把f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h（x）；
（ⅰ）求h（x）的解析式；
（ⅱ）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足

cosA

cosB

=

b

a

，h（A）=

3 -1

2

，c=2，试求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角的三角函数公式降次，再用辅助角公式合并得f（x）=sin（2x+

π

6

）-

1

2

，再结合函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的有关公式，可得f（x）的最小正周期、对称轴方程及单调区间；
（II）（i）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的公式，不难得到h（x）的解析式为h（x）=sin（

1

2

x+

π

6

）-

1

2

；
（ii）根据h（A）的值结合三角形内角的范围和特殊三角函数的值，求得A=

π

3

，再由

cosA

cosB

=

b

a

结合正弦定理，讨论得三角形是等腰三角形或是直角三角形，最后在两种情况下分别解此三角形，再结合面积公式可求出△ABC的面积．

解答：解：（I）∵f（x）=

3

sinxcosx+cos2x-1=

3

2

sin2x-

1-cos2x

2

=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

-

1

2

，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）-

1

2

，f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．
令2x+

π

6

=

π

2

+kπ，得x=

π

6

+

1

2

kπ，k∈Z，所以函数图象的对称轴方程为：x=

π

6

+

1

2

kπ，（k∈Z）
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解之得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，所以函数的单调增区间为[-

π

3

，

π

6

+kπ]，（k∈Z）
同理可得，函数的单调减区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，（k∈Z）
（II）∵保持纵坐标不变，把f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h（x）
∴h（x）=f（

1

4

x）=sin（

1

2

x+

π

6

）-

1

2

，
（i）h（x）的解析式为h（x）=sin（

1

2

x+

π

6

）-

1

2

；
（ii）∵h（A）=sin（

1

2

A+

π

6

）-

1

2

=

3 -1

2

，
∴sin（

1

2

A+

π

6

）=

3

2

，结合A∈（0，π）得A=

π

3

∵

cosA

cosB

=

b

a

=

sinB

sinA

∴sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=

π

2

①当A=B时，因为c=2，A=

π

3

，所以△ABC是边长为2的等边三角形，
因此，△ABC的面积S=

3

4

×2²=

3

．
②当A+B=

π

2

时，因为c=2，A=

π

3

，所以△ABC是斜边为2的直角三角形
∴a=csinA=2×

3

2

=

3

，b=ccosA=2×

1

2

=1
因此，△ABC的面积S=

1

2

×

3

×1=

3

2

．
综上所述，得△ABC的面积是

3

或

3

2

．

点评：本题综合了三角恒变换、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、利用正余弦定理解三角形等知识，对三角函数的知识进行了综合考查，是一道中档题．