Question

18．已知函数$y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$在同一个周期上的最高点为（2，2），最低点为（8，-4）．
（1）求函数解析式．
（2）求出f（x）的单调递增区间；
（3）指出当f（x）取得最大值和最小值时x的集合．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A和B，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）根据正弦函数的图象的单调性和对称性求出函数f（x）的单调递增区间．
（3）根据正弦函数的图象的单调性即可求出f（x）取得最大值和最小值时x的集合．

解答 解：（1）由同一周期中最高点坐标为（2，2），最低点坐标为（8，-4），
可得B=$\frac{2-4}{2}$=-1，A=2-（-1）=3，$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=8-2，求得ω=$\frac{π}{6}$．
再把最高点坐标（2，2），代入函数的解析式可得 2=3sin（$\frac{π}{3}$+φ）-1，
即sin（$\frac{π}{2}$+φ）=1，结合，|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，
故函数的解析式为y=3sin（$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{6}$）-1．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得12k-4≤x≤12k+2，k∈z，
故函数的增区间为[12k-4，12k+2]，k∈z．
（3）当$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即x∈{x|x=12k+2，k∈z}，f（x）取得最大值2．
当$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z，即x∈{x|x=12k-4，k∈z}，f（x）取得最小值-4．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A和B，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的图象的单调性和对称性，属于基础题．