Question

【题目】如图，点M在椭圆1（0＜b）上，且位于第一象限，F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1，F2，M的圆与y轴交于点P，Q（P在Q的上方），|OP||OQ|＝1．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）直线PM与直线x＝2交于点N，试问，在x轴上是否存在定点T，使得为定值？若存在，求出点T的坐标与该定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）存在定点T（1，0），使得为定值0．

【解析】

（I）设圆心．则圆的方程为：,令，得：，即可得出，进而得出．
（II）设．将代入圆与椭圆的方程，可得坐标，可得直线的方程，设，可得，即可得出．

（I）设圆心（0，t）．则圆的方程为：x2+（y﹣t）2＝c2+t2．

令x＝0，得：y2﹣2ty﹣c2＝0（*），

∴|OP||OQ|＝|yPyQ|＝c2＝1．

∴b＝a2﹣c2＝1．

（II）设M（x0，y0）．

将M（x0，y0）代入圆与椭圆的方程，可得：
2ty0﹣1＝0，22，消去x0，

得t，代入（*）得：y21＝0，

即，所以

过F1，F2，M的圆与y轴交于点P，Q（P在Q的上方）.

所以yP，.

则 .

则直线的方程为：y，
由直线PM与的交点为.

所以在直线PM的方程中，令 得，．

得

设T（d，0），（x0﹣d，y0）（2﹣d，）
＝（x0﹣d）（2﹣d）+1﹣x0＝（1﹣d）x0﹣d（2﹣d）+1．

要使得为定值，即与M的坐标无关.

当d＝1时，0为定值．

存在定点T（1，0），使得为定值0．