Question

近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售价格平均为100元，生产成本为80元，从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件，设第n年每件小挂件的生产成本g（n）=

80

n 2 +1

元，若玉制产品的销售价不变，第n年的年利涧为f（n）万元（今年为第1年）．
（I）求f（n）的表达式；
（II）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？

Answer 1

分析：（I）第n年利润f（n）=第n年销售额-第n年成本，成本=生产成本+科技成本，即可得到f（n）的表达式；
（II）换元，利用基本不等式，即可求得最高利润．

解答：解：（I）据题意，第n年产量为n+10（万件），销售额为100（n+10）（万元），科技成本为100n万元．
∴f（n）=（10+n）×100-（10+n）×

80

n 2 +1

-100n=1000-

80(n+10)

n 2 +1

（6分）
（II）令

n 2 +1

=t，得n=2t²-2，则f（n）=g（t）=1000-160（t+

4

t

）≤360
当且仅当t=

4

t

，即t=2，亦即n=6时，取等号
故从今年起，第6年的利润最高，且最高利润为360（万元） （13分）

点评：本题考查数列、函数、均值不等式以及实际应用题的建模、用模能力，属于中档题．