Question

已知四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=AB.Q是PC上的一点.

⑴求证：平面PAD⊥面PBD;
⑵当Q在什么位置时，PA∥平面QBD?

Answer 1

⑴详见解析；⑵当时，PA∥平面QBD.

试题分析：（1）要证面面垂直，先证线面垂直，所以首先考虑证哪条线垂直哪个面.由于PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AD.又在底面ABCD可证得AD⊥BD，这样可证得AD⊥平面PBD，进而得平面PAD⊥平面PBD；⑵要使得PA∥平面QBD，必须使得平面QBD内有一条直线与PA平行，为了找这条直线，先作过PA与平面QBD相交的平面，只要交线与PA平行即可.
试题解析：⑴∵∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD=AB,
设BC=1，则AD=BD=，∴
又PB⊥平面ABCD.∴PB⊥AD
又因为BD，PB在平面PBD内，且BD与PB相交，
∴AD⊥平面PBD
又AD面PAD，
所以平面PAD⊥平面PBD。       6分
(2)当时，PA∥平面QBD，证明如下：
连结AC交BD于点M，
∵2CD=AB,CD∥AB,∴AM=2MC
过PA的平面PAC平面QBD=MQ,
∵PA∥平面QBD,∴AP∥MQ,∴PQ=2QC.       12分