【题目】在多面体中,四边形
与
均为正方形,
平面
,
平面
,且
.
(1)求证: 平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)先根据线面垂直判定定理由线线垂直得线面垂直: 平面
,即得
平面
,
.再根据勾股定理计算可得
,最后根据线面垂直判定定理得
平面
;(2)利用空间向量求二面角大小:先根据条件建立恰当直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解出平面法向量,利用向量数量积求出两法向量夹角,最后根据法向量夹角与二面角关系得结论
试题解析:解:(1)证明:由题意可得,
,
∴平面
,
∵,
∴平面
,
而平面
,
∴.
如图,连接,
∵平面
,
平面
,
∴,∴四边形
为直角梯形,
设,则依题意
,
,
∴,
,
,
∴.
∴,又
,
,
∴平面
;
(2)解:由(1)知两两垂直,
以分别为
轴建立空间直角坐标系,设
,
则,
,
,
,
,
∴,
,
设是平面
的一个法向量,
则,∴
,取
,得
.
又是平面
的一个法向量,
∴,
∴二面角的余弦值为
.
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【题目】已知椭圆:
(
)的离心率为
,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,斜率为的直线
与椭圆
交于
,
两点,点
在直线
的左上方.若
,且直线
,
分别与
轴交于
,
点,求线段
的长度.
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【题目】某品牌茶壶的原售价为80元/个,今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶,甲店用如下方法促销:如果只购买一个茶壶,其价格为78元/个;如果一次购买两个茶壶,其价格为76元/个;…,一次购买的茶壶数每增加一个,那么茶壶的价格减少2元/个,但茶壶的售价不得低于44元/个;乙店一律按原价的75%销售.现某茶社要购买这种茶壶x个,如果全部在甲店购买,则所需金额为y1元;如果全部在乙店购买,则所需金额为y2元.
(1)分别求出y1、y2与x之间的函数关系式;
(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少?
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【题目】已知集合A={x||x﹣a|≤3,x∈R},B={x|x2﹣3x﹣4>0,x∈R}.
(1)若a=1,求A∩B;
(2)若A∪B=R,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=kax(k为常数,a>0且a≠1)的图象过点A(0,1)和点B(2,16).
(1)求函数的解析式;
(2)g(x)=b+ 是奇函数,求常数b的值;
(3)对任意的x1 , x2∈R且x1≠x2 , 试比较 与
的大小.
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【题目】已知各项均为整数的数列{an}满足an2≤1,1≤a12+a22+…+an2≤m,m,n∈N* .
(1)若m=1,n=2,写出所有满足条件的数列{an};
(2)设满足条件的{an}的个数为f(n,m).
①求f(2,2)和f(2016,2016);
②若f(m+1,m)>2016,试求m的最小值.
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【题目】设m,n∈R,定义在区间[m,n]上的函数f(x)=log2(4﹣|x|)的值域是[0,2],若关于t的方程( )|t|+m+1=0(t∈R)有实数解,则m+n的取值范围是 .
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