Question

1．设x是一个正数，记不超过x的最大的正整数为[x]，令{x}=x-[x]，且{x}，[x]，x成等比数列，则x=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由{x}，[x]，x成等比数列，可得[x]²={x}•x=（x-[x]）•x，解出即可得出．

解答 解：∵{x}，[x]，x成等比数列，
∴[x]²={x}•x=（x-[x]）•x，
解得[x]=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x，
∵$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$=1．
∴可设x=k•$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$（k∈N^*）．
∴$[\frac{\sqrt{5}+1}{2}k]$=k，
当k=1时，上式成立；
k≥2时，不成立．
∴x=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、取整函数[x]的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．