Question

10．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B；
（2）若b=$\sqrt{19}$，a-c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知条件，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数．
（2）直接利用余弦定理，结合b=$\sqrt{19}$，a-c=3，求出ac，然后求解三角形的面积．

解答 解：（1）已知等式（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
则B=60°；
（2）b=$\sqrt{19}$，a-c=3，由余弦定理b²=（a-c）²+2ac-2accosB，
得ac=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题考查了余弦定理以及正弦定理的应用，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解本题的关键．