Question

.数列{a_n}的前n项和S_n=100n-n²(n∈N^*).
(1){a_n}是什么数列?
(2)设b_n=|a_n|,求数列{b_n}的前n项和.

Answer 1

(1) 数列{a_n}是首项为a₁=99,公差d=-2的等差数列.
(2) 数列{b_n}的前n项和为S_n′=

(1)a_n=S_n-S_n-1=(100n-n²)-［100·(n-1)-(n-1)²］=101-2n(n≥2).
∵a₁=S₁=100×1-1²=99=101-2×1,
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=101-2n(n∈N^*).
又a_n+1-a_n=-2为常数,∴数列{a_n}是首项为a₁=99,公差d=-2的等差数列.
(2)令a_n=101-2n≥0,得n≤50.5.
∵n∈N^*,∴n≤50(n∈N^*).
①当1≤n≤50时,a_n>0,此时b_n=|a_n|=a_n,所以{b_n}的前n项和S_n′=100n-n².
②当n≥51时,a_n<0,此时b_n=|a_n|=-a_n,
由b₅₁+b₅₂+…+b_n=-(a₅₁+a₅₂+…+a_n)=-(S_n-S₅₀)=S₅₀-S_n,
得数列{b_n}的前n项和为
S_n′=S₅₀+(S₅₀-S_n)=2S₅₀-S_n=2×2 500-(100n-n²)="5" 000-100n+n².
由①②得数列{b_n}的前n项和为S_n′=