Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F分别为A₁C₁和BC的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：C₁F∥平面ABE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）通过证明AB⊥平面B₁BCC₁，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（2）取AC的中点G，连结C₁G、FG，通过证明平面C₁GF∥平面EAB，利用平面与平面平行的性质定理证明C₁F∥平面ABE．

解答： 证明：（1）∵BB₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴AB⊥BB₁ 又AB⊥BC，BB₁∩BC=B，
∴AB⊥平面B₁BCC₁
而AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面B₁BCC₁
（2）取AC的中点G，连结C₁G、FG，
∵F为BC的中点，
∴FG∥AB又E为A₁C₁的中点∴C₁E∥AG，且C₁E=AG
∴四边形AEC₁G为平行四边形，
∴AE∥C₁G
∴平面C₁GF∥平面EAB，
而C₁F?平面C₁GF，
∴C₁F∥平面EAB．

点评：本题考查仔细与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理以及平面与平面平行的性质定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．