Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠BAC=90°，AB=AC=1，AA1=3，点E，F分别在棱BB1 ， CC1上，且C1F= C1C，BE=λBB1 ， 0＜λ＜1．

（1）当λ= 时，求异面直线AE与A1F所成角的大小；
（2）当直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为 时，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．

因为AB=AC=1，AA1=3， ，

所以各点的坐标为A（0，0，0），E（1，0，1），A1（0，0，3），

F（0，1，2）． ， ．因为 ， ，

所以 ．所以向量 和 所成的角为120°，

所以异面直线AE与A1F所成角为60°．

（2）解：因为E（1，0，3λ），F（0，1，2），所以 ．

设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），

则 ，且 ．

即x+3λz=0，且y+2z=0．令z=1，则x=﹣3λ，y=﹣2．

所以 =（﹣3λ，﹣2，1）是平面AEF的一个法向量．

又 ，则 ，

又因为直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为 ，

所以 = ，解得，

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．（1）推出相关点的坐标，求出向量 和 对应的向量，利用向量的数量积求出夹角即可．（2）求出平面AEF的法向量， ，利用向量的数量积求解直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为 ，得到 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．