Question

如图所示，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B．已知|

OB

|、|

F1B

|、

|F1F2

|成等比数列，|

F1B

|-

|F1F2

|=2，与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k₁、k₂，且k₁•k₂=

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意可知

|OB|

和

|F1B|

，通过|

OB

|、|

F1B

|、

|F1F2

|成等比数列推断出a²=2bc，进而根据a，b和c的关系求得a和b的关系，利用

F1B•

F1F2

=2求得b，则a可求，椭圆的方程可得．
（Ⅱ）设出直线l的方程，和M，N的坐标，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用k₁•k₂=

3

2

求得b，进而可求得直线l与y轴相交的点．

解答：解：（Ⅰ）易知

|OB|

=b，

|F1B|

=a

|F1F2|

=2c，（其中c=

a2-b2

），则由题意知有a²=2bc．又∵a²+b²=c²，联立得b=c．∴a=

2

b．
∵

F1B•

F1F2

=2，∴2cos45°=2．∴b²=1a²=1．
故椭圆C的方程为y2+

x2

2

=1．（4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b，M、N坐标分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）．
由

y2+ x2 2 =1 y=kx+b

?（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．
∴x1+x2=-

4kb

1+2k2

，x1x2=

2b2-2

1+2k2

∵k1=

y1+1

x1

，k2=

y2+1

x2

．
∴k1k2=

(kx1+1+b)

x1

•

(kx2+1+b)

x2

=

kx1x2+(1+b)k(x1+x2)+(1+b2)

x1x2

=

3

2

．
将韦达定理代入，并整理得

2k2(1+b)-4k2b+(1+2k2)(1+b)

b-1

=3，解得b=2．
∴直线l与y轴相交于定点（0，2）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合．考查了学生分析问题和解决问题的能力．