Question

已知正数a，b，c满足a+b+c=1证明  a3+b3+c3≥

a2+b2+c2

3

．

Answer 1

分析：由已知条件可得，要证原不等式成立，只要证   3a³+3b³+3c³-a²-b²-c²≥0 即可，
即   2（a³+b³+c³ ）+a²（a-1）+b²（b-1）+c²（c-1）≥0，
即  2（a³+b³+c³ ）+a²（-b-c）+b²（-a-c）+c²（-a-b）≥0，即 a³+b³+c³+a³+b³+c³-a²b-a²c-b²a-b²c-c²a-c²b≥0，
即 a² （a-b）+a²（a-c）+b²（b-a）+b²（b-c）+c²（c-a）+c²（c-b）≥0，
故只要证   （a+b）（a-b）²+（b+c）（b-c）²+（c+a） （c-a）²≥0  ①即可，而①显然成立．

解答：证明：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，要证 a3+b3+c3≥

a2+b2+c2

3

，
只要证   3a³+3b³+3c³-a²-b²-c²≥0，
只要证   2（a³+b³+c³ ）+a²（a-1）+b²（b-1）+c²（c-1）≥0，
只要证   2（a³+b³+c³ ）+a²（-b-c）+b²（-a-c）+c²（-a-b）≥0，
只要证   a³+b³+c³+a³+b³+c³-a²b-a²c-b²a-b²c-c²a-c²b≥0，
只要证   a² （a-b）+a²（a-c）+b²（b-a）+b²（b-c）+c²（c-a）+c²（c-b）≥0，
只要证   （a-b）（a²-b²）+（b-c） （b²-c²）+（c-a）（c²-a²）≥0，
只要证   （a+b）（a-b）²+（b+c）（b-c）²+（c+a） （c-a）²≥0，
而由题意可知  （a+b）（a-b）²+（b+c）（b-c）²+（c+a） （c-a）²≥0  成立，故要证的不等式成立．

点评：本题考查用分析法证明不等式，关键是寻找是不等式成立的充分条件．