Question

用定义法证明：

k

n+k

＜ln(1+

k

n

)．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：计算题,证明题,不等式

分析：由

1

n+1

＜ln（1+

1

n

）可写出

1

n+2

＜ln（1+

1

n+1

），…，利用放缩法证明即可．

解答： 证明：∵

1

n+1

＜ln（1+

1

n

），
∴

1

n+2

＜ln（1+

1

n+1

），

1

n+3

＜ln（1+

1

n+2

），
…

1

n+k

＜ln（1+

1

n+k-1

），
∵

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

n+k

＞

k

n+k

，
且ln（1+

1

n

）+ln（1+

1

n+1

）+ln（1+

1

n+2

）+…+ln（1+

1

n+k-1

）
=ln（

n+1

n

•

n+2

n+1

•

n+3

n+2

•…•

n+k

n+k-1

）=ln

n+k

n

=ln（1+

k

n

），
则

k

n+k

＜ln(1+

k

n

)．

点评：本题考查了不等式的证明，应用了

1

n+1

＜ln（1+

1

n

），属于中档题．