Question

17．已知函数f（x）=ln（ex）-kx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若?x∈（0，+∞），都有f（x）≤0，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论k的范围求出函数的单调区间即可；
（2）求出x=$\frac{1}{k}$是函数的最大值点，得到f（x）_max=f（$\frac{1}{k}$）=-lnk≤0，解出即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$-k，
①若k＞0，x∈（0，$\frac{1}{k}$）时，f′（x）＞0，x∈（$\frac{1}{k}$，+∞）时，f′（x）＜0，
f（x）的单调递增区间是（0，$\frac{1}{k}$），单调递减区间是（$\frac{1}{k}$，+∞）；
②k≤0时，f′（x）=$\frac{1}{x}$-k＞0恒成立，
∴f（x）的单调递增区间是（0，+∞），
综上①②知：k≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间；
k＞0时，f（x）的单调递增区间是（0，$\frac{1}{k}$），单调递减区间是（$\frac{1}{k}$，+∞）．
（2）由（1）知：k≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
且x→+∞时，f（x）→+∞（或f（1）=1-k＞0），
∴f（x）≤0恒成立是假命题；
当k＞0时，由（Ⅰ）知：x=$\frac{1}{k}$是函数的最大值点，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{k}$）=-lnk≤0，
∴k≥1，
故k的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．