Question

【题目】下列说法：
①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[﹣1，a]）是偶函数，则实数b=﹣2；
②f（x）= + 既是奇函数又是偶函数；
③若f（x+2）= ，当x∈（0，2）时，f（x）=2x ， 则f（2015）=2；
④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（xy）=xf（y）+yf（x），则f（x）是奇函数．其中所有正确命题的序号是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①由函数在区间[﹣1，a]上为偶函数可得：a=1，所以f（x）=x2+（2+b）x+2，
因为函数为偶函数，所以对称轴 ，故b=﹣2，故①正确；
②易知函数的定义域为 ，此时f（x）=0，既是奇函数，也是偶函数，故②正确；
③由 ，可得 ，故函数为周期为4的周期函数，所以f（2015）=f（3），
又f（3）=f（1+2）= = ，即 ，故③错误；
④令x=y=1，可得：f（1）=0，令x=y=﹣1，得f（1）=﹣f（﹣1）﹣f（﹣1），故f（﹣1）=0，
令y=﹣1可得：f（﹣x）=xf（﹣1）﹣f（x）=﹣f（x），
故函数为奇函数，所以④正确．
所以答案是：①②④．
【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用和函数的奇偶性的相关知识点，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能正确解答此题．