Question

已知向量

a

=(sin2

π

6

x，cos2

π

6

x)，

b

=(sin2

π

6

x，-cos2

π

6

x)，g(x)=

a

•

b

（1）求函数g（x）的解析式．
（2）若集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，试判断g（x）与集合M的关系．
（3）记A={x|a≥2^g（x）}，B={x|y=

3 x2-x-2

(a-5)x2+2(a-5)x-4

}，若（?_RA）∪（?_RB）=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接代入向量的数量积计算公式整理后即可求出函数g（x）的解析式；
（2）直接计算g（x）+g（x+2）看是否符合集合M中的元素所满足的条件即可得出结论；
（3）直接利用（C_RA）∪（C_RB）=∅，得到A=B=R；再分别利用A=R以及B=R求出对应的实数a的取值范围，综合即可得出结论．

解答：解：（1）∵向量

a

=(sin2

π

6

x，cos2

π

6

x)，

b

=(sin2

π

6

x，-cos2

π

6

x)，g(x)=

a

•

b

∴g(x)=sin4

π

6

x-cos4

π

6

x
=(sin2

π

6

x-cos2

π

6

x)(sin2

π

6

x+cos2

π

6

x)=-cos

π

3

x，（4分）
（2）∵g(x)+g(x+2)=-[cos

πx

3

+cos(

πx

3

+

2π

3

)]
=-(cos

πx

3

+cos

πx

3

cos

2π

3

-sin

πx

3

sin

2π

3

)
=-(

1

2

cos

πx

3

-

3

2

sin

πx

3

)
=-cos

π

3

(x+1)=g(x+1)，
∴g（x）∈M．（8分）
（3）∵（C_RA）∪（C_RB）=∅，
∴A=B=R．
由A=R?a≥2    ①
由B=R?1＜a≤5    ②．
由①，②得a∈[2，5]（14分）

点评：本题主要考查平面向量数量积的运算以及元素与集合关系的判断．元素与集合之间的关系命题方向有二，一是验证元素是否是集合的元素；二是知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．