Question

【题目】如图①，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13．将△ABC沿BC边上的高AD折成一个如图②所示的四面体A﹣BCD，使得图②中的BC=11．

（1）求二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值；
（2）在四面体A﹣BCD的棱AD上是否存在点P，使得 =0？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请给出证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知AD⊥BD，AD⊥CD，

故二面角B﹣AD﹣C的平面角为∠BDC，

在图①，设BD=x，AD=h，则CD=14﹣x，

在△ABD与△ACD中，分别用勾股定理得x2+h2=152，（14﹣x）2+h2=132，

得x=9，h=12，从而AD=12，BD=9，CD=5，

在图②的△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+CD2﹣2BDCDcos∠BDC，

即112=92+52﹣2×9×5cos∠BDC，则cos∠BDC=﹣ ，

即二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值是﹣

（2）解：假设在四面体A﹣BCD的棱AD上存在点P，使得 ，

则0= =（ + ）（ + ）= 2+ + + = 2+0+0+9×5×（﹣ ）= 2﹣ ，

则| |= ＜12，符号题意，

即在棱AD上存在点P，使得 ，此时| |=

【解析】（1）根据图象折之前和折之后的边长关系，合二面角的定义进行求解．（2）假设在四面体A﹣BCD的棱AD上存在点P，使得 根据向量数量积的定义结合向量的运算法则进行化简求解．