Question

已知函数，（）.
（Ⅰ）已知函数的零点至少有一个在原点右侧，求实数的范围.
（Ⅱ）记函数的图象为曲线.设点,是曲线上的不同两点.如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.
试问：函数（且）是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）函数不存在“中值相依切线”，理由见解析。

解：(Ⅰ)(1)当时，，直线与轴的交点为，即函数的零点为0，不在原点右侧，不满足条件.     (1分)
(2)当时，，抛物线的顶点为，即函数的零点为0，不在原点右侧，不满足条件.           (2分)
（3）当时，，抛物线开口向上且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的左侧，故函数的零点不在原点右侧，不满足条件.       (3分)
（4）当时，，抛物线开口向上且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数有一个零点在原点右侧，满足条件.          (4分)
（5）当时，，抛物线开口向下且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数有一个零点在原点右侧，满足条件.                        (5分)
综上可得，实数的取值范围是.           (6分)
(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.
设,是曲线上的不同两点，且，
则，.

          （8分）
曲线在点处的切线斜率
，       （9分）
依题意得：.
化简可得： ， 即=.    （11分）
设 ()，上式化为：, 即.   （12分）
令,.
因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立.
所以在内不存在,使得成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”.            （14分）