Question

在函数y=log_ax（a＞1）的图象上有A、B、C三点，横坐标分别为m，m+2，m+4，其中m＞1．
（1）求△ABC的面积S=f（m）的表达式；
（2）求S=f（m）的值域．

Answer 1

分析：（1）分别由A、B、C三点向x轴作垂线，交点为D，E，F，根据S_△ABC=S_ABED+S_BCFE-S_ACFD和D，E，F的坐标，进而得出函数f（m）的表达式．
（2）由（1）中得S=f(m)=loga

(m+2)2

m2+4m

      (m＞1)，先根据 m＞1，推断t=m²+4m为增函数，进而推断函数f（m）为减函数，根据m的范围，求得函数的值域．

解答：解：（1）解：分别由A、B、C三点向x轴作垂线，交点为D，E，F，如图：
S_△ABC=S_ABED+S_BCFE-S_ACFD
=

1

2

•2•{[log_am+log_a（m+2）]+[log_a（m+2）+log_a（m+4）]}-2•[log_am+log_a（m+4）]
=2log_a（m+2）-log_am-log_a（m+4）
=loga

(m+2)2

m(m+4)

    （m＞1）
∴S=f(m)=loga

(m+2)2

m2+4m

       (m＞1)
（2）∵s=f（m）=loga(1+

4

m2+4m

)  （m＞1）
m＞1时，t=m²+4m为增函数，a＞1，
∴S=f（m）在（1，+∞）上为减函数，
∴1＜1+

4

m2+4m

＜1+

4

5

=

9

5

，
∴0＜S＜loga

9

5

，
∴S=f（m）的值域为(0，loga

9

5

)

点评：本题主要考查了对数函数的图象和性质，建立函数模型，利用函数单调性求函数的值域和最值等问题，复合函数单调性问题，属中档题