Question

3．已知函数f（x）=x+sinx，x∈[$\frac{π}{2}$，π]
（1）求函数f（x）的值域；
（2）求函数f（x）的图象与x轴围成的面积．

Answer 1

分析 （1）根据导数判断函数的单调性质，即可求出函数的值域；
（2）函数f（x）的图象与x轴围成的面积就是定积分的值．

解答 解：（1）∵f′（x）=1+cosx≥0，
∴函数f（x）在[$\frac{π}{2}$，π]单调递增，
∴f（x）_min=f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$+1，
f（x）_max=f（π）=π，
∴函数f（x）的值域为[$\frac{π}{2}$+1，π]；
（2）函数f（x）的图象与x轴围成的面积S=${∫}_{\frac{π}{2}}^{π}$f（x）dx=${∫}_{\frac{π}{2}}^{π}$（x+sinx）dx=（$\frac{1}{2}{x}^{2}$-cosx）|${\;}_{\frac{π}{2}}^{π}$=$\frac{1}{2}$π²+1-$\frac{1}{8}{π}^{2}$=$\frac{3{π}^{2}}{8}$+1．

点评 本题考查了导数和函数单调性的关系以及定积分的应用，属于基础题．