【题目】是定义在区间上且同时满足如下条件的函数所组成的集合:
①对任意的,都有;
②存在常数,使得对任意的,都有
(1)设,试判断是否属于集合;
(2)若,如果存在,使得,求证:满足条件的是唯一的;
(3)设,且,试求参数的取值范围
【答案】(1)是的元素;(2)证明见解析;(3)
【解析】
(1)构造函数f(x)=φ(x)xx2x+1,判断单调性求最值即可证明
(2)要证明唯一性通过反证法来证明,假设满足这样条件的x0有两个,导出矛盾.
(3)转化为c(x2﹣x1)恒成立,利用单调性求最值求解
(1)x∈[1,2],所以φ(x)∈(,)
令f(x)=φ(x)xx2x+1,则f'(x)x,
因为x∈[1,2],所以f'(x)≤0,所以f(x)在[1,2]上单调递减,
对任意1≤x1≤x2≤2,f(x1)≤f(x2)φ(x2)﹣φ(x1)(x2﹣x1)|φ(x1)﹣φ(x2)||x1﹣x2|,即存在
所以φ(x)∈A.
(2)假设存在不同的两个数a、b∈(1,2),使得φ(a)=a,φ(b)=b,
因为φ(x)∈A,所以|φ(a)﹣φ(b)|=|a﹣b|≤c|a﹣b|,
因为a≠b,所以|a﹣b|>
所以满足x0=φ(x0)的x0是唯一的.
(3)因为φ(x)单调递增,故φ(x)∈(1,2),所以,解得b∈(,);
对任意1≤x1≤x2≤2,|φ(x1)﹣φ(x2)|c(x2﹣x1)
所以对任意1≤x1≤x2≤2恒成立,
所以b.
综上b∈(,).
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【题目】若存在常数,使得数列满足对一切恒成立,则称为可控数列,.
(1)若,,问有多少种可能?
(2)若是递增数列,,且对任意的,数列,,成等差数列,判断是否为可控数列?说明理由;
(3)设单调的可控数列的首项,前项和为,即.问的极限是否存在,若存在,求出与的关系式;若不存在,请说明理由.
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【题目】(1)设椭圆与双曲线有相同的焦点、,是椭圆与双曲线的公共点,且△的周长为6,求椭圆的方程;我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”;
(2)如图,已知“盾圆”的方程为,设“盾圆”上的任意一点到的距离为,到直线的距离为,求证:为定值;
(3)由抛物线弧()与第(1)小题椭圆弧()所合成的封闭曲线为“盾圆”,设过点的直线与“盾圆”交于、两点,,,且(),试用表示,并求的取值范围.
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【题目】已知,其中.
(1)若,写出的单调区间:
(2)若函数恰有三个不同的零点,且这些零点之和为-2,求a、b的值;
(3)若函数在上有四个不同零点,求的最大值。
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【题目】如图,在直角梯形中, // , ⊥, ⊥, 点是边的中点, 将△沿折起,使平面⊥平面,连接, , , 得到如
图所示的空间几何体.
(Ⅰ)求证: ⊥平面;
(Ⅱ)若,求点到平面的距离.
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【题目】已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试,学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查,先将800人按001,002,…,800进行编号.
(1)如果从第8行第7列的数开始向右读,请你依次写出最先检查的3个人的编号;
(下面摘取了第7行到第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
(2)抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表:
成绩分为优秀、良好、及格三个等级;横向,纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如:表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42.
人数 | 数学 | |||
优秀 | 良好 | 及格 | ||
| 优秀 | 7 | 20 | 5 |
良好 | 9 | 18 | 6 | |
及格 | a | 4 | b |
①若在该样本中,数学成绩优秀率是30%,求a,b的值:
②在地理成绩及格的学生中,已知求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.
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【题目】定义,已知函数、定义域都是,给出下列命题:
(1)若、都是奇函数,则函数为奇函数;
(2)若、都是减函数,则函数为减函数;
(3)若,,则;
(4)若、都是周期函数,则函数是周期函数.
其中正确命题的个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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