Question

为响应政府“还家乡青山绿水，走生态发展之路”的号召，某县两村F₁、F₂准备种植围绕村庄的防护林，如图，在与两个村同一条直线上有两个机井A₁，A₂，两村在两个机井之间，每个村到两机井的距离都分别为3千米与1千米，根据现有地理特点，两村拟定每个种植点距两村距离和等于两机井间距离．
（Ⅰ）请你利用所学知识，建立适当的平面直角坐标系，求出种植点所在的曲线方程；
（Ⅱ）已知过F₂村有一条小路l，且斜率为1，试求在小路l上的两个种植点间距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以A₁A₂所在直线为x轴，线段A₁A₂的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，根据两村拟定每个种植点距两村距离和等于两机井间距离，两机井间距离为10千米，由椭圆的定义可知，种植点所在的曲线为以A₁A₂为长轴，F₁、F₂为焦点的椭圆，从而可得种植点所在的曲线方程；
（Ⅱ）小路l所在直线方程为：y=x-1，代入椭圆方程，求出交点坐标，利用两点间的距离公式，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）以A₁A₂所在直线为x轴，线段A₁A₂的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
∵两村拟定每个种植点距两村距离和等于两机井间距离，两机井间距离为10千米
∴由椭圆的定义可知，种植点所在的曲线为以A₁A₂为长轴，F₁、F₂为焦点的椭圆
设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则a+c=3，a-c=1，所以a=2，c=1，b=

a2-c2

=

3

．
∴种植点所在的曲线方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由题意，小路l所在直线方程为：y=x-1，代入椭圆方程，消去y可得7x²-8x-8=0
∴x=

4+6 2

7

或x=

4-6 2

7

∴y=

-3+6 2

7

或y=

-3-6 2

7

∴两点之间距离为

( 4+6 2 7 - 4-6 2 7 )2+( -3+6 2 7 - -3-6 2 7 )2

=

24

7

即在小路l上的两个种植点间距离为

24

7

千米．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．