Question

已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有等式2f（x）+f（-x）-3•2^sinx=0成立．
（1）试求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在[-

π

2

，

π

2

]的单调性，并用单调性定义予以证明；
（3）若f(x)=

3 2

2

，求满足条件的所有实数x的集合．

Answer 1

分析：（1）由题意可得2f（-x）+f（x）-3•2^sin（-x）=0，联立消去f（-x），可得函数解析式；
（2）可判函数单调递增，用单调性的定义法可证明；
（3）由（2）可知函数在[

π

2

，

3π

2

]上单调递减，周期为2π，进而可得sinx=

1

2

，由三角函数的值可解．

解答：解：（1）∵2f（x）+f（-x）-3•2^sinx=0，
∴2f（-x）+f（x）-3•2^sin（-x）=0，
联立消去f（-x），可得f(x)=21+sinx-

1

2sinx

；
（2）f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上单调递增，
证明：任意x1，x2∈[-

π

2

，

π

2

]，设x₁＜x₂，则

f(x1)-f(x2)=(21+sinx1- 1 2sinx1 )-(21+sinx2- 1 2sinx2 ) =2(2sinx1-2sinx2)+( 1 2sinx2 - 1 2sinx1 ) =(2sinx1-2sinx2)(2+ 1 2sinx1+sinx2 )

因为x1，x2∈[-

π

2

，

π

2

]，所以sinx₁＜sinx₂，
所以2sinx1＜2sinx2，又2sinx1+sinx2＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上单调递增．
（3）由（2）过程容易知道，f（x）在[

π

2

，

3π

2

]上单调递减，
又f（x）=f（x+2π），所以f（x）是最小正周期为2π的周期函数．
设t=2^sinx，则t∈（0，2]，由2t-

1

t

=

3 2

2

，解得t=

2

或t=-

2

4

（舍）．
所以2sinx=

2

=2

1

2

，sinx=log22

1

2

=

1

2

，
故x=

π

6

+2kπ，k∈Z，或x=

5π

6

+2kπ，k∈Z．
故满足条件的所有实数x的集合为{x|x=

π

6

+2kπ，或x=

5π

6

+2kπ，k∈Z}．

点评：本题考查函数解析式的求法，以及函数单调性的判断与证明，属中档题．