Question

已知函数f（x）=x³+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是的f（x）的导函数．
（Ⅰ）对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）设a=-m²，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f（x）的图象与直线y=3只有一个公共点．

Answer 1

分析：（I ）将g（x）=3x²-ax+3a-5＜0对满足-1≤a≤1的一切a的值成立，转化为令（3-x）a+3x²-5＜0，-1≤a≤1成立解决．
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象与直线y=3只有一个公共点．关键是画出函数y=f（x）的图象，方法是先f′（x）=3x²-3m^2_分①当m=0时，f（x）=x³-1的图象与直线y=3只有一个公共点②当m≠0时，求得极值，明确关键点，再利用图象间的关系求解．

解答：解：（Ⅰ）由题意g（x）=3x²-ax+3a-5
令φ（x）=（3-x）a+3x²-5，-1≤a≤1
对-1≤a≤1，恒有g（x）＜0，即φ（a）＜0
∴

φ(1)＜0 φ(-1)＜0

即

3x2-x-2＜0 3x2+x-8＜0

解得-

2

3

＜x＜1
故x∈(-

2

3

，1)时，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0
（Ⅱ）f′（x）=3x²-3m²
①当m=0时，f（x）=x³-1的图象与直线y=3只有一个公共点
②当m≠0时，f（x）_极小=f（|x|）=-2m²|m|-1＜-1
又∵f（x）的值域是R，且在（|m|，+∞）上单调递增
∴当x＞|m|时函数y=f（x）的图象与直线y=3只有一个公共点．
当x＜|m|时，恒有f（x）≤f（-|m|）
由题意得f（-|m|）＜3
即2m²|m|-1=2|m|³-1＜3
解得m∈(-

3	2

，0)∪(0，

3	2

)
综上，m的取值范围是(-

3	2

，

3	2

)

点评：本小题主要考查函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运算能力和综合应用数学知识的能力．