Question

已知△ABC中，sinA（sinB+

3

cosB）=

3

sinC，BC=3，则△ABC的周长的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：把已知条件的左边利用乘法分配律化简，右边由三角形的内角和定理，利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化简后，左右两边抵消后，即可求出tanA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，然后利用正弦定理分别表示出AC和AB，利用三角形的周长的求法三边相加，把A的度数代入利用特殊角的三角函数值化简后，提取6，利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据B的范围求出B+

π

6

的范围，进而得到正弦函数的值域范围，根据正弦函数的值域即可得到三角形周长的范围．

解答：解：由sinA（sinB+

3

cosB）=

3

sinC，
得：sinAsinB+

3

sinAcosB=

3

sin[π-（A+B）]=

3

sin（A+B）=

3

sinAcosB+

3

cosAsinB，
即：sinAsinB=

3

cosAsinB，
得到：tanA=

3

，又A∈（0，π），得到A=

π

3

，
所以sinA=sin

π

3

=

3

2

，cosA=cos

π

3

=

1

2

，
根据正弦定理得：

BC

sinA

=

AB

sinC

=

AC

sinB

，
所以AB=

BCsinC

sinA

=

3sinC

3 2

=2

3

sinC；AC=

BCsinB

sinA

=

3sinB

3 2

=2

3

sinB，
则△ABC的周长=AB+AC+BC=2

3

sinC+2

3

sinB+3
=2

3

sin（π-A-B）+2

3

sinB+3
=2

3

（sinAcosB+cosAsinB）+2

3

sinB+3
=2

3

（

3

2

cosB+

1

2

sinB）+2

3

sinB+3
=3cosB+3

3

sinB+3
=6（

1

2

cosB+

3

2

sinB）+3
=6sin（B+

π

6

）+3
由0＜B＜

2π

3

，得到

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
所以sin（B+

π

6

）的值域为（

1

2

，1]，
则△ABC的周长的取值范围是（6，9]．
故答案为：（6，9]

点评：此题考查了诱导公式、两角和的正弦函数公式以及正弦定理，考查了利用三角函数的数学思想求周长的范围，是一道中档题．