Question

3．若在区间[a，a+2]上，函数f（x）=2^x-5的最小值不小于g（x）=4x-x²的最大值，则正数a的取值范围为（　　）

• A． [3，+∞）
• B． （0，3）
• C． （3，+∞）
• D． [3，4）

Answer 1

分析 运用指数函数的单调性可得f（x）的最小值，讨论a的范围，可得g（x）的最大值，构造h（a）=2^a-5-4a+a²，a＞2，求出导数，判断单调性，即可得到a的范围．

解答 解：在区间[a，a+2]上，函数f（x）=2^x-5的最小值为2^a-5，
当0＜a≤2时，g（x）=4x-x²的最大值为g（2）=4，
由题意可得2^a-5≥4，解得a≥log₂9，不成立；
当a＞2时，g（x）在[a，a+2]上递减，可得g（x）的最大值为4a-a²．
由题意可得2^a-5≥4a-a²，
设h（a）=2^a-5-4a+a²，a＞2，
h′（a）=2^aln2-4+2a，当a＞2时，h′（a）＞0，h（a）在（2，+∞）递增，
由于h（3）=8-5-12+9=0，
则h（a）≥0=h（3），
解得a≥3．
故选：A．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用函数的单调性，考查构造法和分类讨论思想方法的运用，考查运算能力，属于中档题．