Question

【题目】已知F为椭圆C： + =1的右焦点，椭圆C上任意一点P到点F的距离与点P到直线l：x=m的距离之比为 ，求：
（1）直线l方程；
（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F的直线交椭圆C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点．以MN为直径的是圆是否恒过一定点，若是，求出定点坐标，若不是请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由椭圆C： + =1，可得a=2，c=1，右焦点F（1，0），其离心率e= ．

∵椭圆C上任意一点P到点F的距离与点P到直线l：x=m的距离之比为 ，

∴ =4．

∴直线l方程为：x=4

（2）解：当DE⊥x轴时，把x=1代入椭圆方程解得y= ，∴D ，E ．

可得直线AD的方程：y= ，解得M（4，3），同理可得N（4，﹣3），

可得以MN为直径的圆过点F（1，0），G（7，0）．

下面证明以MN为直径的圆恒过上述两定点．

证明：设直线DE的方程为：my=x﹣1，D（x1，y1），E（x2，y2）．

联立 ，化为（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

∴y1+y2=﹣ ，y1y2= ．

直线AD的方程为：y= ，可得M ，

同理可得N ．

∴ = =9+

=9+ =9﹣9=0，

∴以MN为直径的圆恒过一定点F（1，0），G（7，0）．

同理可证：以MN为直径的圆恒过一定点G（7，0）．

因此以MN为直径的圆恒过一定点F（1，0），（7，0）．

【解析】（1）利用椭圆的标准方程及其椭圆的第二定义即可得出；（2）当DE⊥x轴时，把x=1代入椭圆方程解得D ，E ．可得直线AD的方程：y= ，解得M，N，可得以MN为直径的圆过点F（1，0），G（7，0）． 下面证明以MN为直径的圆恒过上述两定点．设直线DE的方程为：my=x﹣1，D（x1 ， y1），E（x2 ， y2）．与椭圆方程联立化为（3m2+4）y2+6my﹣9=0，直线AD的方程为：y= ，可得M ，同理可得N ．利用根与系数的关系可证明 =0，即可得出结论．