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10.已知圆C经过点(1,$\sqrt{3}$),圆心在直线y=x上,且被直线y=-x+2截得的弦长为2$\sqrt{2}$.
(1)求圆C的方程;
(2)若直线l过点($\frac{3}{2}$,0),与圆C交于P,Q两点,且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=-2,求直线l的方程.

分析 (1)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,根据圆心在直线上和弦长公式,即可求得a,b,r;
(2)利用向量坐标化,求得直线方程.

解答 解:(1)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
∵圆心在y=x上
∴b=a①
∵$圆经过点(1,\sqrt{3})$
∴$(1-a)^{2}+(\sqrt{3}-b)^{2}={r}^{2}②$
∵$圆被直线y=-x+2截得的弦长为2\sqrt{2}$
∴${r}^{2}={d}^{2}+(\frac{2\sqrt{2}}{2})^{2}③$
$又∵d=\frac{|a+b-2|}{\sqrt{2}}$④
联立以上四式得,a=b=0,r=2
∴圆的方程为x2+y2=4
(2)当直线l斜率为0时,此时,l:y=0,不满足题意;
当直线l斜率不为0时,设l方程为:x=my+$\frac{3}{2}$,设P(x1,y1),Q(x2,y2
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\frac{3}{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得:$({m}^{2}+1){y}^{2}+3my-\frac{7}{4}=0$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-3my}{{m}^{2}+1}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-7}{4({m}^{2}+1)}}\end{array}\right.$
∵$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$
=${(m}^{2}+1){y}_{1}{y}_{2}+\frac{3}{2}m({y}_{1}+{y}_{2})+\frac{9}{4}=-2$
代入得,${m}^{2}=\frac{5}{4}即m=±\frac{\sqrt{5}}{2}$
∴$直线方程为2x±\sqrt{5}y-3=0$.

点评 本题考查了圆的方程,向量坐标化.

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