Question

已知数列{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，对于一切n∈N^*均有a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项．
（1）计算a₁，a₂，a₃，并由此猜想{a_n}的通项公式a_n；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由题意Sn=

(an+2)2

8

，令n=1，因为s₁=a₁，可求出a₁的值，再反复代入，分别求出a₂，a₃，总结出规律写出通项公式a_n；
（2）根据（1）的猜想，利用归纳法进行证明，假设n=k成立，然后利用已知条件验证n=k+1是否成立，从而求证．

解答：解：（1）由

an+2

2

=

2Sn

得Sn=

(an+2)2

8

可求得a₁=2，a₂=6，a₃=10，…（5分）
由此猜想{a_n}的通项公式a_n=4n-2（n∈N₊）．…（7分）
（2）证明：①当n=1时，a₁=2，等式成立；…（9分）
②假设当n=k时，等式成立，即a_k=4k-2，…（11分）
∴ak+1=Sk+1-Sk=

(ak+1+2)2

8

-

(ak+2)2

8

∴（a_k+1+a_k）（a_k+1-a_k-4）=0，又a_k+1+a_k≠0
∴a_k+1-a_k-4=0，
∴a_k+1=a_k+4=4k-2+4=4（k+1）-2
∴当n=k+1时，等式也成立．…（13分）
由①②可得a_n=4n-2（n∈N₊）成立．…（15分）

点评：点评：此题主要考查数列的递推公式和利用数学归纳法进行证明，归纳法是高考中常考的方法，几乎每年都考，对此学生要引起注意，多加练习．