Question

已知定义在区间[0，1]上的函数y=f（x）的图象如图所示，对于满足0＜x₁＜x₂＜1的任意x₁，x₂，给出下列结论：
①f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
③

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)；
④

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0．
其中正确结论的序号是

 

．（把所有正确结论的序号都填上）

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：利用直线的斜率的几何意义，利用数形结合的思想研究函数的单调性与最值即可得到答案．

解答： 解：函数y=f（x）在区间[0，1]上的图象如下：


对于①设曲线y=f（x）上两点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），直线AB的斜率k_AB=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜k_op=1，
∴f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，故①错误；
对于②，由图可知，k_oA＞k_oB，即

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，0＜x₁＜x₂＜1，于是有x₂f（x₁）＞x₁f（x₂），故②正确；
对于③，由于函数f（x）为上凸函数，根据凸函数的性质可知

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)，故③正确，
对于④，由图象可知函数为增函数，所以

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0．故④正确
故答案：②③④

点评：本题考查函数的图象，着重考查直线的斜率的几何意义，考察函数的单调性，突出考查作图象的能力与数形结合解决问题的能力，属于中档题