Question

4．（1）如图（1）所示，在北纬30°圈上两地A，B的经度差为锐角θ，若sinθ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求A，B两地间的球面距离（地球半径为R）．
（2）如图（2）所示，三条侧棱两两垂直且长都为1的正三棱锥P-ABC内接于球O，求球O的表面积与体积．

Answer 1

分析 （1）欲求A、B两点间的球面距离，只要求出球心角的大小即可，为此，在三角形ABO中结合题中条件进行求解即得．
（2）由三棱锥三条侧棱两两相互垂直且相等，可联想正方体的一个“角”，可构造正方体来处理．由题目的条件可以知道，以三棱锥的三条侧棱为边的正立方体恰好为球O的内接正立方体，可得该正方体的体对角线恰好为球O的直径．正立方体的体对角线根据勾股定理可求得为$\sqrt{3}$，于是可得球O的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，球的表面积为3π，球的体积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$π．

解答 解：（1）如图，设30°纬度圈的圆心为O₁，半径为r，
则r=Rcos30°=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$．依题意sin∠AO₁B=sinθ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，θ为锐角，
则：cosθ=$\frac{1}{3}$，由余弦定理可得：AB=$\sqrt{{r}^{2}+{r}^{2}-2{r}^{2}cosθ}$=R，
故：△AOB为等边三角形，∠AOB=$\frac{π}{3}$，
∴从而A、B两点的球面距离为$\frac{π}{3}$R．
（2）以三棱锥P-ABC构造正方体ADEF-PCGB，
则正方体也内接球，正方体的对角线PE的长就是三棱锥P-ABC外接球的直径．
可得：PA=PB=PC=1，PE=$\sqrt{3}$，
故：S球=4πr²=3π，
V球=$\frac{4π{r}^{3}}{3}$=$\frac{4π}{3}$×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）³=$\frac{\sqrt{3}π}{2}$．

点评 本题主要考查了球的性质，特别是球面距离的求法，涉及到地理知识中的经度纬度的概念，有些数学问题，其部分条件隐于图形之中，若能抓住图形的“特征”，利用运动变换的观点，恰当地添设辅助图形，就能发现含而未露的条件，使问题获解，本题属于中档题．