Question

【题目】在△ABC中，D为BC的中点，∠BAD+∠C≥90°． （Ⅰ）求证：sin2C≤sin2B；
（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣ ，AB=2，AD=3，求AC．

Answer 1

【答案】证明：令∠BAD=α，∠CAD=β， ∵∠BAD+∠C≥90，
∴α≥90°﹣C，β≤90°﹣B，
∴sinα≥sin（90°﹣C）=cosC，sinβ≤sin（90°﹣B）=cosB，
∵D为BC的中点，
∴S△ABD=S△ACD ，
∴ cADsinα= bADsinβ，
∴csinα=bsinβ，
∴ccosC≤bcosB
∴sinCcosC≤sinBcosB
∴sin2C≤sin2B；
（Ⅱ）在△ABD中，BD2=AB2+AD2﹣2ADABcos∠BAD=4+9﹣12×（﹣ ）=16，
∴BD=4，
∴cos∠ADB= = ，
在△ADC中，CD=BD=4，cos∠ADC=﹣cos∠ADB=﹣ ，
∴AC2=9+16﹣2×3×4×（﹣ ）=46，
∴AC= ．
【解析】（Ⅰ）∠BAD=α，∠CAD=β，根据正弦函数的图象和性质得到sinα≥cosC，sinβ≤cosB，再根据三角形面积公式可得csinα=bsinβ，即可得到ccosC≤bcosB再根据正弦定理和二倍角公式即可求出，（Ⅱ）根据余弦定理和夹角公式即可求出．