Question

【题目】已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，中心在原点.若椭圆短轴的上顶点到直线的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆的下顶点为，设直线与椭圆相交于不同的两点，，当时，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据椭圆的顶点坐标及焦点位置，可得；由上顶点到直线的距离，结合点到直线距离公式可求得，即可得椭圆的方程；

（2）设，，弦的中点，联立直线方程与椭圆方程，根据两个不同交点可知，得；由中点坐标公式及韦达定理表示出的坐标，由题意可知，进而由两条直线垂直时的斜率关系得，即，由上述三式即可确定的取值范围.

（1）依题意可设椭圆方程为，则椭圆上顶点.

由题设，解得，

因为焦点在轴上，所以舍去.

∴所求椭圆的方程为.

（2）设，，弦的中点.

由，得.

∵直线与椭圆相交，

∴.①

∴，从而.

由（1）得，

∴.

又∵，

∴，

则，即.②

把②代入①，得，解得；

由②，得，解得.

综上求得的取值范围是.