Question

（2013•内江二模）已知动圆P过定点F(0，-

2

)，且与直线l相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，一个焦点是F，点A(1，

2

)在椭圆N上．
（1）求动圆圆心P的轨迹M的方程和椭圆N的方程；
（2）已知与轨迹M在x=-4处的切线平行的直线与椭圆N交于B、C两点，试探求使△ABC面积等于

3

2

的直线l是否存在？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的定义，结合题意可得P的轨迹M是以F为焦点、直线y=

2

为准线的抛物线，由抛物线的标准方程形式即可算出动圆圆心P的轨迹M的方程．根据椭圆的定义算出2a=4，结合c=

2

算出b²=a²-c²=2，即可得到椭圆N的标准方程；
（2）假设存在满足条件的直线l，根据抛物线在x=-4处切线的斜率为-4

2

，因此设直线l方程为y=

2

x+m，与抛物线方程消去y得4x²+2

2

mx+m²-4=0．由根与系数的关系结合弦长公式算出|BC|=

3

•

4- 1 2 m2

，再算出点A到直线l的距离d=

|m|

3

，结合△ABC面积等于

3

2

建立关于m的方程，化简整理得到m⁴-8m²+18=0，由于此方程没有实数解，所以得不存在满足条件的直线l．

解答：解：（1）由题意，可得
∵点P到定点F（0，-

2

）与P到直线y=

2

的距离相等
∴点P的轨迹M是以F为焦点、直线y=

2

为准线的抛物线
设抛物线方程为x²=-2py，可得

p

2

=

2

，得2p=4

2

，
由此可得动圆圆心P的轨迹M的方程为抛物线x²=-4

2

y
设椭圆N的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)
根据椭圆的定义，可得2a=

(1-0)2+( 2 + 2 )2

+

(1-0)2+( 2 - 2 )2

=4
∴a=2，结合c=

2

可得b²=a²-c²=2，可得椭圆N的方程为

y2

4

+

x2

2

=1；
（2）假设存在满足条件的直线l，
∵P的轨迹M的方程为抛物线x²=-4

2

y，
∴抛物线在x=-4处的切线的斜率k=

2

，因此可设直线l方程为y=

2

x+m
由

y= 2 x+m y2 4 + x2 2 =1

消去y，化简得4x²+2

2

mx+m²-4=0
∴△=（2

2

m）²-16（m²-4）＞0，解之得m²＜8且m≠0
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-

2

2

m，x₁x₂=

m2-4

4

由两点之间的距离公式，得|BC|=

3

•

4- 1 2 m2

又∵点A到直线l的距离d=

|m|

3

，∴

1

2

×

3

•

4- 1 2 m2

•

|m|

3

=

3

2

化简整理，得m⁴-8m²+18=0，此方程没有实数解．
因此可得：不存在与抛物线在x=-4处的切线平行的直线l，使△ABC面积等于

3

2

．

点评：本题给出动圆圆心P满足的条件，求P的轨迹方程并依此探讨是否存在与抛物线在x=-4处的切线平行的直线l，使△ABC面积等于

3

2

的问题．着重考查了轨迹方程的求法、椭圆、抛物线的标准方程与简单几何性质、一元二次方程根与系数的关系和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于中档题．