Question

（2012•商丘三模）已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2 2

3

，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4

2

．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=ky+m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4

2

，椭圆的离心率，建立方程，利用b²=a²-c²，可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）由直线与椭圆方程联立，消元，由以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），可得 

CA

•

CB

=0，结合数量积公式及韦达定理，即可求m的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，可得 2a+2c=6+4

2

，即a+c=3+2

2

，…（1分）
又椭圆的离心率为

2 2

3

，即

c

a

=

2 2

3

，…（2分）
所以a=3，c=2

2

，
所以b²=a²-c²=1，…（3分）
所以椭圆M的方程为

x2

9

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由

x=ky+m x2 9 +y2=1

消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0．…（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），有y1+y2=-

2km

k2+9

，y1y2=

m2-9

k2+9

．①…（6分）
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），所以 

CA

•

CB

=0．…（7分）
由 

CA

=(x1-3，y1)，

CB

=(x2-3，y2)，得 （x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．…（8分）
将x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得 (k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0，…（10分）
将 ①代入上式得(k2+1)×

m2-9

k2+9

+k(m-3)×(-

2km

k2+9

)+(m-3)2=0
解得 m=

12

5

，或m=3．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．