Question

7．函数f（x）=ax²+bx+1（a，b，x∈R）．
（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，求f（x）的解析式；
（2）在（1）条件下，g（x）=f（x）-kx，x∈[2，5]是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）若a＞0，f（x）为偶函数，实数m，n满足m•n＜0，m+n＞0，定义函数F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$，试判断F（m）+f（n）＞0能否成立，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知a-b+1=0，且-$\frac{b}{2a}$=-1，解二者联立的方程求出a，b的值即可得到函数的解析式．
（2）求出g（x）的表达式，结合一元二次函数的单调性的性质建立对称轴和区间的关系即可得到结论．
（3）f（x）是偶函数，可得b=0，求得f（x）=ax²+1，由mn＜0，m+n＞0，可得m、n异号，设m＞0，则n＜0，故可得m＞-n＞0，代入F（m）+F（n），化简成关于m，n的代数式，由上述条件判断其符号即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）的最小值是f（-1）=0，
∴a＞0且a-b+1=0，且-$\frac{b}{2a}$=-1，解得a=1，b=2，
∴函数f（x）的解析式是f（x）=x²+2x+1；
（2）在（1）的条件下，g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
若x∈[2，5]是单调函数，
则对称轴x=-$\frac{2-k}{2}$=$\frac{k-2}{2}$≥5或$\frac{k-2}{2}$≤2，
即k≥12或k≤6，
∴k的取值范围为（-∞，6]∪[12，+∞）；
（3）F（m）+f（n）＞0成立．
∵f（x）是偶函数，∴b=0，∴f（x）=ax²+1，
由mn＜0知m、n异号，不妨设m＞0，则n＜0，又由m+n＞0得m＞-n＞0，
F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+1-（an²+1）=a（m²-n²），
由m＞-n＞0得m²＞n²，又a＞0，得F（m）+F（n）＞0，
∴F（m）+F（n）的值为正．

点评 本题考查一元二次函数解析式的求解，以及利用一元二次函数的性质判断式的符号，考查学生的运算和推理能力．