Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若时， ，求的最小值；

（Ⅱ）设数列的通项，证明： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）求导后可得，按照三种情况对进行讨论，最后可得符合题意．(Ⅱ)由条件可得 ，构造函数即当时， ，且当时， ，从而得到．令，则，……， ，将以上各式两边分别相加整理后可得结论．

试题解析：

（Ⅰ）由已知可得，

∵，

∴，且

①若，则当时， ， 单调递增，

∴．不合题意．

②若，则当时， ， 单调递增，

所以当时， ．不合题意．

③若，则当时， ， 单调递减，

所以当时， ．符合题意．

综上．

∴实数的最小值为.

（Ⅱ）由于

当，由（Ⅰ）知， ，且当时， ，

即,

令，则，

∴，

，

，

……

．

以上各式两边分别相加可得

，

即

，

所以．