Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}-1=3（{a_n}-1），n∈{Z^+}$．
（1）求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足${a_{n-1}}={（\frac{3}{2}）^{{a_n}•{b_n}}}$，若b_n≤t对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过对${S_n}-1=3（{a_n}-1），n∈{Z^+}$变形可知S_n=3a_n-2，当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1计算可知a_n=$\frac{3}{2}$a_n-1，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知b_n=（n-2）$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，通过记f（x）=（x-2）$（{\frac{2}{3}）}^{x-1}$并对其求导可知f（x）在区间（0，2+$\frac{1}{ln3-ln2}$）上单调递增、在区间（2+$\frac{1}{ln3-ln2}$，+∞）上单调递减，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵${S_n}-1=3（{a_n}-1），n∈{Z^+}$，
∴S_n=3a_n-2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3a_n-2）-（3a_n-1-2），
整理得：a_n=$\frac{3}{2}$a_n-1，
又∵a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公比为$\frac{3}{2}$的等比数列，
∴a_n=$（\frac{3}{2}）^{n-1}$；
（2）由（1）可知$（{\frac{3}{2}）}^{n-2}$=$（\frac{3}{2}）^{（{\frac{3}{2}）}^{n-1}{b}_{n}}$，
∴$（\frac{3}{2}）^{n-1}$b_n=n-2，即b_n=$\frac{n-2}{（\frac{3}{2}）^{n-1}}$=（n-2）$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
记f（x）=（x-2）$（{\frac{2}{3}）}^{x-1}$，则f′（x）=$（{\frac{2}{3}）}^{x-1}$+（x-2）$（{\frac{2}{3}）}^{x-1}$$ln\frac{2}{3}$=$（{\frac{2}{3}）}^{x-1}$[1+（x-2）$ln\frac{2}{3}$]，
令f′（x）=0，即1+（x-2）$ln\frac{2}{3}$=0，
解得：x=2+$\frac{1}{ln3-ln2}$∈（4，5），
∴f（x）在区间（0，2+$\frac{1}{ln3-ln2}$）上单调递增，在区间（2+$\frac{1}{ln3-ln2}$，+∞）上单调递减，
又∵b₄=（4-2）$（{\frac{2}{3}）}^{4-1}$=$\frac{16}{27}$，b₅=（5-2）$（\frac{2}{3}）^{5-1}$=$\frac{16}{27}$，
∴t≥$\frac{16}{27}$．

点评 本题考查数列的通项以及数列的单调性，考查运用导数知识判断函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．